Propriedade de Fecho

Fecho reflexivo e simétrico:

Um fecho é reflexivo quando adicionamos os elementos (a,a), (b,b)... que não pertencem à relação R. E um fecho é simétrico quando adicionamos os elementos (b,a) tais que (a,b) pertence à R.

Exemplo 1:

Conjunto A

A= { a, b, c, d }

Relações:

R₁= { (a,b), (b,b), (a,d), (c,d), (d,d) }

R₁= { (a,a), (a,b), (b,b), (a,d), (c,c), (c,d), (d,d) } Fecho Reflexivo

R₁= { (a,b), (b,a), (b,b), (a,d), (d,a), (c,d), (d,c), (d,d) } Fecho Simétrico

Exemplo 2:

Conjunto B

B= { 2, 10, 12, 200 }

Relações:

R₁= { (2,2), (2,10), (10,12), (12,200) }

R₁= { (2,2), (2,10), (10,10), (10,12), (12,12), (12,200), (200,200) } Fecho Reflexivo

R₁= { (2,2), (2,10), (10,2), (10,12), (12,10), (12,200), (200,12) } Fecho Simétrico

Reflexivo (R) é encontrado adicionando todos os valores (a,a) que não pertencem a relação em questão, e o Simétrico (R) é encontrado adicionando a R todos os valores (b,a) tais que (a,b) pertençam a relação original R.

Fecho Transitivo:

Seja R uma relação em um conjunto A, definimos R²= RxR e Rⁿ= R^n-1xR.

Relações:

1. R^* é o fecho transitivo da relação R. Suponha que A é um conjunto finito de n elementos, então:

R^*= R¹ U R² U ...U Rⁿ

2. Seja R umarelação em um conjunto A, com n elementos, então:

Transitivo(R)= R U R² U ... U Rⁿ

    Exemplo:

    Considere a seguinte relação R em A = (1, 2, 3):

    R= { (1,2), (2,3), (3,3) } Então:

    R² = RxR = { (1,3), (2,3), (3,3) }

    R³ = R²xR = { (1,3), (2,3), (3,3) }

    Coerentemente:

    Transitivo(R) = R U R² U R³ = { (1,2), (2,3), (3,3), (1,3) }

Referência bibliográfica:

LIPSCHUTZ, Seymour; LIPSON, Marc. Matemática discreta. 3. ed. Porto Alegre: Bookman, 2013. xi, 471p. (Coleção Schaum). ISBN 9788565837736.