Tipos de Relação

Relação reflexiva:

Em um conjunto qualquer, podemos dizer que existe relação reflexiva se os subconjuntos deste conjunto possuírem os mesmos elementos, por exemplo:

Exemplo1:

Conjunto A

A= { a, b, d, z }

Relações:

R₁ = { (a,b), (b,a), (b,z) } Não é reflexiva

R₂ = { (a,b), (b,d), (z,z) } Não é reflexiva

R₃ = { (a,a), (a,b), (b,b), (d,d), (z,z) } É reflexiva

Exemplo 2:

Conjunto K

K= { 1, 4, 10 }

Relações:

R₁ = { (1,1), (1,4), (4,4) } Não é reflexiva

R₂ = { } Não é reflexiva

R₃ = { (1,1), (1,4), (1,10), (4,1), (4,4), (4,10), (10,1), (10,4), (10,10)}

É reflexiva

Podemos dizer que a relação é reflexiva de tal conjunto, se este apresentar os pares de todos os números iguais pertencentes ao conjunto.

Relação simétrica e Anti-simétrica:

Em um conjunto R qualquer dizemos que a relação é simétrica quando (a,b) pertence ao conjunto R e obrigatoriamente o subconjunto (b,a) também pertença ao conjunto R, ao contrário a relação será anti-simétrica.

Exemplo 1:

Conjunto L = { 2, 4, 6, 8 }

Relações:

R₁ = {(2,4), (2,6), (6,8)} É anti-simétrica

R₂ = {(2,4), (2,6), (4,2), (6,8)} É simétrica

R₃ = { (2,4), (2,6), (2,8), (4,2), (8,2), (6,2)} É simétrica

Exemplo 2:

Conjunto K

K= { 1, 4, 10 }

Relações:

R₁ = { (1,1), (1,4), (4,4) } É anti-simétrica

R₂ = { } É anti-simétrica

R₃ = { (1,1), (1,4), (1,10), (4,1), (4,4), (4,10), (10,1), (10,4), (10,10)}

É simétrica

Uma relação R é simétrica se em um conjunto A (a,b) pertence a R implica (b,a) pertença a R. Uma relação R não é simétrica se em um conjunto A (a,b) pertence a R e (b,a) não pertença a R

Relação transitiva:

A relação R é transitiva em um conjunto, se a seguinte relação for satisfeita: (a,b) pertence a R e (b,c) pertence a R implica que (a,c) pertença a R, caso contrário a relação não é transitiva.

Exempo 1:

Conjunto A

A= { a, b, c, d }

Relações:

R₁= { (a,b), (a,d), (b,c), (c,d) } Não é transitiva

R₂= { (a,b), (a,c), (b,c), (a,c) } É transitiva

R₃= a<=b, b<=c então a<=c, É transitiva

R₄= Se a é perpendicular á b e b é perpendicular á c, então a não é perpendicular á c, a relação não é transitiva

Exemplo 2:

           Conjunto B

B= { 2, 10, 200 }

Relações:

R₁= { (2,10), (2,200), (10,2), (10,200), (200,2), (200,10) } É transitiva

R₂= { (2,2), (2,10), (10,10), (200,200) } Não é transitiva 

Uma relação R em um conjunto é transitiva se (a,b) e (b,c) pertencem a R implica (a,c) também pertença a R. Logo não é transitiva se (a,b) e (b,c) pertencem a R e (a,c) não pertença.

Referência bibliográfica:

LIPSCHUTZ, Seymour; LIPSON, Marc. Matemática discreta. 3. ed. Porto Alegre: Bookman, 2013. xi, 471p. (Coleção Schaum). ISBN 9788565837736.