Relações de Ordem Parcial

Uma relação R sobre um conjunto S é chamado de ordem de S se R é reflexiva, antissimétrica e transitiva. Um conjunto S munido de uma relação de ordem parcial R é dito um conjunto parcialmente ordenado.

Exemplo:

a) A relação  de uma inclusão conjuntista é uma ordem parcial sobre qualquer coleção de conjuntos, uma vez que a inclusão conjuntista tem as três propriedades desejadas.

    1)para qualquer conjunto A;

    2) Se  e , então A=B;

    3) Se  e , então ;

b) A relação <= sobre o conjunto R dos números reais é reflexiva, assimétrica e transitiva. Assim <= é uma ordem parcial em R.

c) A relação “a divide b” (a\b)é uma ordem parcial sobre o conjunto N dos números inteiros positivos. Contudo “a divide b” não é uma ordem parcial sobre o conjunto Z dos inteiros, uma vez que a/b e b/a não implica a=b. Exemplo: 3/-3 e -3/3, mas 3 ≠ -3.

Referência bibliográfica:

LIPSCHUTZ, Seymour; LIPSON, Marc. Matemática discreta. 3. ed. Porto Alegre: Bookman, 2013. xi, 471p. (Coleção Schaum). ISBN 9788565837736.