Composição de relações

Existem algumas maneiras de relacionarmos mais de dois conjuntos. Se tivermos, por exemplo, três conjuntos, A, B e C, sendo que R é uma relação de A em B e S é uma relação de B em C. Por fim, R e S dão origem a uma relação de A em C, que podemos denotar por RoS.
A relação de R e S é chamada de composição de R e S, algumas vezes, podemos denota-la apenas por RS.
Se tivermos, por exemplo, um conjunto B com relação sobre ele mesmo, então podemos denotar por RoR ou R².
Como vimos na postagem anterior, podemos representar as relações com diagramas de flechas e com matriz da relação. Vejamos o exemplo abaixo:

Temos um conjunto A={1,2,3,4}, um conjunto B={a,b,c,d} e um outro conjunto C={x,y,z}, em que R={(1,a),(2,d),(3,a),(3,b),(3,d)} e S={(b,x),(b,z),(c,y),(d,z)}.
Podemos construir o seguinte diagrama de flechas com o exemplo:

Podemos concluir desse diagrama, que há um caminho que liga 2 a z, do 2 vai para d e de d vai para z, nesse caso podemos dizer que 2(RoS)z. Vemos também que há 3(RoS)x e 3(RoS)z. Esses são os elementos de A que se relacionam com algum elemento de C. Nesse caso, concluirmos: RoS={(2,z),(3,x),(3,z)}. 

Há um teorema, o qual diz que composição de relações é associativa.

Composição de relações e matrizes:

Podemos determinar RoS através de matrizes. Onde as relações R e S, são representadas nas matrizes com MR e MS.

Quando multiplicamos uma matriz pela outra, obteremos quais elementos estão relacionados por RoS:

Referência bibliográfica:

LIPSCHUTZ, Seymour; LIPSON, Marc. Matemática discreta. 3. ed. Porto Alegre: Bookman, 2013. xi, 471p. (Coleção Schaum). ISBN 9788565837736.